+7(904)3314610

Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры

Коробейников А. Г., Гришенцев А. Ю.

баннер статьи

Дата:

Учебное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 211000 «Конструирование и технология электронных средств» и Государственным стандартом общего образования. Предназначено для студентов обучающихся техническим специальностям.
Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся в НИУ ИТМО по специальности 211000.68 «Технология и инструментальные средства проектирования электронных средств».

Введение

Стремительное развитие вычислительной техники (ВТ) и информационных технологий (ИТ) привело к их широкому применению различных областях человеческой деятельности. Очень большая потребность "готового" компьютерного инструментария поставила задачу быстрой разработки и появления на рынке программного обеспечения (ПО) разнообразных компьютерных систем для решения прикладных задач. Причем, достаточно часто, эти системы декларируют широчайшие возможности. В связи с этим, а также с достигнутыми успехами в использовании средств ВТ для целей моделирования, часто создается иллюзия, что применение современной ВТ гарантирует возможность исследования системы любой сложности. При этом игнорируется тот факт, что в основу любой модели (М) положено трудоемкое по затратам времени и материальных ресурсов предварительное изучение явлений, имеющих место в объекте-оригинале. И от того, насколько детально изучены реальные явления, насколько правильно проведена их формализация и алгоритмизация, зависит в конечном итоге успех моделирования конкретного объекта.

В настоящее время проектирование и анализ даже не очень сложных систем, в большинстве случаев проводят с использованием методов математического моделирования.Под моделированием обычно понимается:процесс исследования объектов познания на их моделях; синтез и анализ моделей реально существующих предметов и явлений (например различных процессов – химических,физических, биологических и др.) а также проектируемых объектов (например, для анализа для различных характеристик объекта).Но так как наши знания об объекте всегда относительны, по той причине, что они являются отображением тех или иных свойств материального мира с какой-то погрешностью, то, как следствие, существует задача замены исследуемого объекта-оригинала его изображением, которое и называется моделью. Поэтому для процесса моделирования на компьютере необходимо наличие абстрактных моделей, таких как математическая или компьютерная. Под математической моделью (ММ) в данной книге понимается совокупность уравнений и неравенств, задающих состояние объекта моделирования, а через них и выходные значения (решения), в зависимости от начальных и граничных условий, входных воздействий и времени[1]. В ММ, как правило, учитываются лишь отражающие требуемые свойства(атрибуты) объекта-оригинала. Отсюда следует, что в зависимости от цели исследования при анализе одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах,объект-оригинал обычно имеет разное математические описания и, поэтому, представляется различными ММ. Таким образом, ММ – это формальное представление системы, которое представляет из себя конечное множество символов и правил действий с ними совместно с интерпретацией свойств конкретного объекта-оригинала.

В данной работе в большинстве случаев ММ представляют из себя систему дифференциальных уравнений (ДУ).

ДУ, как математический объект, начали применять еще в 17 веке. Термин ДУ впервые ввел Г. В. Лейбниц в письме к И. Ньютону (1676). После этого он его часто использовал в своих публикациях начиная с 1684 года. В знаменитом труде И. Ньютона“Начала” содержится большое количество ДУ, выведенных и проинтегрированных на базе евклидовой геометрии. С того времени формулировку законов природы и технических задач принято давать в терминах ДУ.

Основной предпосылкой при изложении материала является существование аналогии между предметами или явлениями, которая определяется как сходство функций или подобие отношений, например пропорциональности. Это понятие связано также с такими терминами, как копия, подобие, имитатор, тождество.

Хорошее понимание предметной области фактически определяет дальнейший процесс математического моделирования этой предметной области или происходящих в ней процессов. Понимание ключевых особенностей предметной области(динамики развития,предыстории, возможность прогноза реакций на различные входные возмущения и т.д.) позволяет создавать адекватные реальности ММ, разрабатывать вычислительные алгоритмы с их реализацией в виде компьютерных программ, и производить анализ результатов их работы. Но из этого не следует, что начинать математическое моделирование какого-либо явления нельзя при наличии не достаточных знаний о нем.

В настоящее время общепринятый термин математическое моделирование стал несколько “неточным”. Более правильно применять термин “компьютерное моделирование”, которое, с современных позиций,является методологией генерации знаний, входящей в область “ComputerScience”. Но следует отметить, что термин компьютерное моделирование уже термина математическое моделирование, так как последний включает в себя инженерные и аналитические методы решения конкретной задачи.

Представленные в книге процедуры математического моделирования связаны с умением создавать ММ, которые являются условным образом вещественным (физическим) или абстрактным (знаковым),чего-либо или кого-либо, выполняющих роль заместителей оригиналов.

Выбор метода моделирования и необходимая детализация моделей существенно зависят от этапа разработки сложной системы [2]. На этапах обследования объекта управления, например промышленного предприятия,и разработки технического задания на проектирование автоматизированной системы управления модели в основном носят описательный характер и преследуют цель наиболее полно представить в компактной форме информацию об объекте, необходимую разработчику системы.

Достигнутые успехи в использовании средств вычислительной техники (ВТ) для целей моделирования часто создают иллюзию, что применение современной ВТ гарантирует возможность исследования системы любой сложности. При этом игнорируется тот факт,что в основу любой модели (М) положено трудоемкое по затратам времени и материальных ресурсов предварительное изучение явлений,имеющих место в объекте-оригинале. И от того, насколько детально изучены реальные явления, насколько правильно проведена их формализация и алгоритмизация, зависит в конечном итоге успех моделирования конкретного объекта.

Характеризуя проблему моделирования в целом,необходимо учитывать, что от постановки задачи моделирования до интерпретации полученных результатов существует большая группа сложных научно-технических проблем, к основным из которых можно отнести следующие: идентификацию реальных объектов,выбор вида моделей, построение моделей и их машинную реализацию, взаимодействие исследователя с моделью в ходе машинного эксперимента, проверку правильности полученных в ходе моделирования результатов, выявление основных закономерностей,исследованных в процессе моделирования. В зависимости от объекта моделирования и вида используемой модели эти проблемы могут иметь разную значимость. Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми.Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели,чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы.Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ВТ.

Анализ полученных моделей в данной книге будет проводиться с помощью систем компьютерной алгебры MATLAB или MAPLE [3,4].

Полный текст

Коробейников А. Г., Гришенцев А. Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. – 100 с.pdf